要約：脳磁図における Adaptive Beamformer は Minimum variance beamformer (MVBF) を何らかの形で修正したものであり、信号空間を脳表メッシュで構成するか、Array-grain / Weight normalized minimum variance filter, Synthetic Aperture Magnetometry (SAM) などが提案されている。
前項では、測定磁場について時間幅をもった情報を投入することで、Non-adaptive beamformer の限界を超えて重み行列を提案する Minimum variance beamformer (MVBF) を試みた。すなわち、
$$ \boldsymbol{W}_{n}^{T}=\underset{\boldsymbol{W}_{n}^{T}}{\arg\min}\|\boldsymbol{W}_{n}^{T}\boldsymbol{B}\|_{F}^2 \hspace{10pt} subject \hspace{5pt}to\hspace{10pt}\boldsymbol{W}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}=\boldsymbol{I}_{2} $$
を解いて、
$$ \boldsymbol{W}_{n}^{T}=(\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n})^{-1}\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1} $$
を得た [1]。
しかしながら、Sarvas 式の性質から仮想球中心（とその近傍）の信号強度が常に巨大になってしまうため、空間フィルターとしての用をなさなかった。
この状況を解決するには、仮想球中心を避けて信号空間を構成することが素朴な方法として考えられる。次に制約条件を修正して、仮想球中心において \(\boldsymbol{L}_{n}\) の成分が全てゼロとならないように標準化するか、逆に \(\boldsymbol{W}_{n}^{T}\) の成分が無限大に発散しないように標準化することが考えられる。
すなわち、
- 信号空間（LFM を構成する格子点を想定する空間、脳磁図において通常は脳そのもの）について、仮想球中心近傍を除去しておく（脳の真ん中をくり抜いておく）。
- 制約条件 \(\boldsymbol{W}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}=\boldsymbol{I}_{2}\) を修正して \(\boldsymbol{W}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}=\|\boldsymbol{L}_{n}\|_{F}\boldsymbol{I}_{2}\) とする。
- 制約条件 \(\boldsymbol{W}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}=\boldsymbol{I}_{2}\) を修正して \(\boldsymbol{W}_{n}^{T}\boldsymbol{W}_{n}=\boldsymbol{I}_{2}\) とする。
解決策１は素朴な方法で、適切に真ん中がくり抜けていれば問題は生じないだろう。ただし、どれくらいの大きさをくり抜くのかというのは主観であり、大きくくり抜き過ぎれば信号源があるはずの場所もくり抜いてしまうし、少ししかくり抜かなければやはり真ん中の方に解を推定してしまう。
究極的なくり抜き方として、信号空間を脳表メッシュのみで構成するという方法は考えられる。管理者は好まないし経験が無いが（脳表メッシュだけの解析方法としては Gradient magnetic-field topography (GMFT) を採用しているのでこれで十分と考えているが [2]）、画像処理により脳表の皮質だけを抜き出して LFM を構成する解析法を採用している場合、この方法でも問題がないのかもしれない。
解決策２は、\(\boldsymbol{L}_{n}\) の成分が全てゼロとならないようにする方法で、Array-gain minimum variance filterと呼ばれている [3]。すなわち、\(\boldsymbol{\tilde{L}}_{n}=\frac{\boldsymbol{L}_{n}}{\|\boldsymbol{L}_{n}\|_{F}}\) として、
$$ \boldsymbol{W}_{n}^{T}=\underset{\boldsymbol{W}_{n}^{T}}{\arg\min}\|\boldsymbol{W}_{n}^{T}\boldsymbol{B}\|_{F}^2 \hspace{10pt} subject \hspace{5pt}to\hspace{10pt}\boldsymbol{W}_{n}^{T}\boldsymbol{\tilde{L}}_{n}=\boldsymbol{I}_{2} $$
を MVBF と同様に解いて、
$$ \boldsymbol{W}_{n}^{T}=(\boldsymbol{\tilde{L}}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{\tilde{L}}_{n})^{-1}\boldsymbol{\tilde{L}}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1} $$
$$ \boldsymbol{\tilde{L}}_{n}=\frac{\boldsymbol{L}_{n}}{\|\boldsymbol{L}_{n}\|_{F}} $$
を得る。評価基準値 \(\boldsymbol{q}_{filtered}\) の単位は fT または fT/cm だ。
MVBF での議論と同様、直接 \(\boldsymbol{W}^{T}\) を求めることもできる。実際には \(\boldsymbol{W}_{n}^{T}\) を求めて、制約条件 \(\boldsymbol{W}^{T}\boldsymbol{\tilde{L}}=\boldsymbol{I}\) を評価することになる。
解決策３は、\(\boldsymbol{W}_{n}^{T}\) の成分が無限大に発散しないようにする方法で、Weight normalized minimum-variance filter, Unit noise-gain minimum-variance filter, Noise-normalized filter, Borgiotti-Kaplan beamformer などと呼ばれている [3]。
この場合の最適化は
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}=\underset{\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}}{\arg\min}\|\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{B}\|_{F}^2 \hspace{10pt} subject \hspace{5pt}to\hspace{10pt}\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}=\boldsymbol{I}_{2} $$
を解けばよい。\(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}=\boldsymbol{I}_{2}\) から求まる \(\xi_{\theta}(>0),\xi_{\phi}(>0)\) を
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}=\left(\begin{array}{cccc} \xi_{\theta} & 0 \\ 0 & \xi_{\phi} \end{array} \right)=\boldsymbol{\Xi}_{2} $$
とおくと
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}=\underset{\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}}{\arg\min}\|\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{B}\|_{F}^2 \hspace{10pt} subject \hspace{5pt}to\hspace{10pt}\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}=\boldsymbol{\Xi}_{2} $$
MVBF の解法と同様に、ラグランジュ乗数を \(\boldsymbol{\Lambda}\) として、ラグランジュ関数を \(F(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T},\boldsymbol{\Lambda})\) とすると、
$$ F(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T},\boldsymbol{\Lambda})=tr(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{BB}^{T}\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}-(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}-\boldsymbol{\Xi}_{2})\boldsymbol{\Lambda}) $$
\(\|\boldsymbol{Q}_{n}\|_{F}^2=\|\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{B}\|_{F}^2\) が最小値をとるとき、
$$ \frac{\partial F(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T},\boldsymbol{\Lambda})}{\partial \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}}=2\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{BB}^{T}-\boldsymbol{\Lambda}^{T}\boldsymbol{L}_{n}^{T}=\boldsymbol{O} $$
$$ \frac{\partial F(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T},\boldsymbol{\Lambda})}{\partial \boldsymbol{\Lambda}}=(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}-\boldsymbol{\Xi}_{2})^{T}=\boldsymbol{O} $$
から、
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}=\frac{\boldsymbol{\Lambda}^{T}}{2}\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1} $$
だから、
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{L}_{n}=\frac{\boldsymbol{\Lambda}^{T}}{2}\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n}=\boldsymbol{\Xi}_{2} $$
となって、
$$ \boldsymbol{\Lambda}^{T}=2\boldsymbol{\Xi}_{2}(\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n})^{-1} $$
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}=\boldsymbol{\Xi}_{2}(\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n})^{-1}\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1} $$
となる。簡単のために
$$ \boldsymbol{\Omega}=(\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n})^{-1}\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-2}\boldsymbol{L}_{n}(\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n})^{-1} $$
を導入すると、
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}=\boldsymbol{I}_{2} $$
の関係から
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}=\boldsymbol{\Xi}_{2}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\Xi}_{2}^{T}=\boldsymbol{I}_{2} $$
となり、
$$ \boldsymbol{\Xi}_{2}=\boldsymbol{\Xi}_{2}^{T}=\left(\begin{array}{cccc} \xi_{\theta} & 0 \\ 0 & \xi_{\phi} \end{array} \right), \boldsymbol{\Xi}_{2}^{-1}=\boldsymbol{\Xi}_{2}^{T^{-1}}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{\xi_{\theta}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\xi_{\phi}} \end{array} \right) $$
だから、
$$ \boldsymbol{\Xi}_{2}^{2}=\left(\begin{array}{cccc} \xi_{\theta}^{2} & 0 \\ 0 & \xi_{\phi}^{2} \end{array} \right)=\boldsymbol{\Omega}^{-1} $$
となって \(\xi_{\theta}(>0),\xi_{\phi}(>0)\) が求まる。対角成分抽出のため、
$$ \boldsymbol{f}_{\theta}^{T}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 \end{array} \right), \boldsymbol{f}_{\phi}^{T}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 \end{array} \right) $$
を導入すると、
$$ \boldsymbol{\Omega}=(\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n})^{-1}\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-2}\boldsymbol{L}_{n}(\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n})^{-1} $$
$$ \xi_{\theta}=\sqrt{\boldsymbol{f}_{\theta}^{T}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{f}_{\theta}} $$
$$ \xi_{\phi}=\sqrt{\boldsymbol{f}_{\phi}^{T}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{f}_{\phi}} $$
$$ \boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}=\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{\tilde{w}}_{n}^{\theta^{T}} \\ \boldsymbol{\tilde{w}}_{n}^{\phi^{T}} \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cccc} \xi_{\theta} & 0 \\ 0 & \xi_{\phi} \end{array} \right)(\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1}\boldsymbol{L}_{n})^{-1}\boldsymbol{L}_{n}^{T}(\boldsymbol{BB}^{T})^{-1} $$
と求まる。
こちらも評価基準値 \(\boldsymbol{q}_{filtered}\) の単位は fT または fT/cm だ。
MVBF での議論と同様、直接 \(\boldsymbol{\tilde{W}}^{T}\) を求める場合でも解法は \(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\to\boldsymbol{\tilde{W}}^{T}\), \(\boldsymbol{L}_{n}\to\boldsymbol{L}\), \(\boldsymbol{\Xi}_{2}\to\boldsymbol{\Xi}\), \(\boldsymbol{f}_{\theta},\boldsymbol{f}_{\phi}\to\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\ldots,\boldsymbol{f}_{2N}\)
とすれば同様だ。実際には \(\boldsymbol{\tilde{W}}_{n}^{T}\) を求めて、制約条件 \(\boldsymbol{\tilde{W}}^{T}\boldsymbol{\tilde{W}}=\boldsymbol{I}\) を評価することになる。
これら以外にも Adaptive Beamformer はいくつも存在しているようで、例えば背景活動を考慮する Synthetic Aperture Magnetometry (SAM) などが挙がる [4]。
まとめ：Adaptive Beamformerは優れた空間フィルターだが、常に投入する情報の質について評価しつつ慎重に使用することが望ましい。
（引用）
- BD van Veen, W van Drongelen, M Yuchtman, A Suzuki: Localization of brain electrical activity via linearly constrained minimum variance spatial filtering. IEEE Trans Biomed Eng. 1997 Sep;44(9):867-80.
- A Hashizume, K Iida, H Shirozu, R Hanaya, Y Kiura, K Kurisu, H Otsubo: Gradient magnetic-field topography for dynamic changes of epileptic discharges. Brain Res. 2007 May 4;1144:175-9.
- K Sekihara, SS Nagarajan, D Poeppel, A Marantz, Y Miyashita: Reconstructing spatio-temporal activities of neural sources using an MEG vector beamformer technique. IEEE Trans Biomed Eng. 2001 Jul;48(7):760-71.
- M Taniguchi, A Kato, N Fujita, M Hirata, H Tanaka, T Kihara, H Ninomiya, N Hirabuki, H Nakamura, S E Robinson, D Cheyne, T Yoshimine: Movement-related desynchronization of the cerebral cortex studied with spatially filtered magnetoencephalography. Neuroimage. 2000 Sep;12(3):298-306.